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Subject:
Gradient Kriging – an integrative geostatistical method for the unified interpretation of absolute and relative measurement data.
Claims:
- This work presents a method implemented as a computational program that integrates absolute and relative measurement data in predicting the unknown course of a natural feature.
- The method is based on geostatistical model assumptions.
- The relative measurement data can be gradients that are either measured or derived from existing expert knowledge.
- Both specific and general measurement inaccuracies can be assigned to the sample values and gradients, which will be considered in the estimation.
- The Generalized Universal Co- and Gradient Kriging according to Menz serves as the theoretical framework for the programmed algorithms.
- It has been experimentally proven that the theoretical foundations were correct.
- The covariance functions used in gradient Kriging must be continuously differentiable; therefore, in addition to the Gaussian model, the Hirvonen model, which is otherwise unusual in geostatistics, should be used.
- The derivatives of the covariance function become very complex, especially in the case of zonal anisotropy; for this reason, and due to the compute time savings, they are carried out numerically.
- The numerical derivatives do not cause any loss of accuracy within the investigated limits in engineering applications.
- If the from nature obtained vectors do not lie in the direction of the maximum slope of the tangential plane contrary to the theoretical requirement, the coordinate system is rotated into the direction of these vectors.
- Measurement inaccuracies at sample points and gradients, as well as the natural variability of the feature, are considered separately through three different factors, so that, the measurement fidelity at the sample points is maintained even with inaccurate gradients.
- The software includes a special search algorithm that adapts to the data configuration at the respective estimation point.
- The software also includes the cross-validation technique, where gradients and cross-correlated sample points can also be included.
- In the model adjustment according to Menz, the curves of the empirical and theoretical prediction errors are approximated; in this way, it is possible to find a model function and its parameters for the estimation.
- The poor condition of the Kriging matrix when using the Gaussian model arises from the minimal change in the function around the coordinate system origin, so that the equations in the Kriging system differ only insignificantly.
- By introducing a relative regularization constant for the Krige matrix of 5% till 20%, stable results could be achieved in gradient Kriging.
- Both in Co-Kriging and Gradient Kriging, the principle of complete structure capture between the measurement points of the feature of interest must be considered.
- Gradients can be used to fully capture structural elements that serve in turn to describe topographical surfaces.
- By additionally considering the relative change of the feature of interest, the estimation result can be improved, as demonstrated in two case studies.
- Gradient Kriging is a suitable means to include data of various origins in a prediction.
Der originale Text in Deutsch.
Thema der Dissertation:
Gradientenkriging – eine integrierende geostatistische Methode zur einheitlichen Auswertung von absoluten
und relativen Messdaten
Thesen zur Dissertation:
- Thema der Dissertation: Gradientenkriging – eine integrierende geostatistische Methode zur einheitlichen Auswertung von absoluten und relativen Messdaten.
- Die vorliegende Arbeit stellt ein als Rechenprogramm umgesetztes Verfahren vor, das bei der Vorhersage des unbekannten Verlaufs eines Merkmals absolute und relative Messdaten integriert.
- Das Verfahren beruht auf geostatistischen Modellannahmen.
- Die relativen Messdaten können gemessene oder aus vorhandenem Wissen abgeleitete Gradienten sein.
- Den Stützpunkten und Gradienten können sowohl spezielle als auch allgemeine Messgenauigkeiten zugeordnet werden, die bei der Schätzung berücksichtigt werden.
- Das Verallgemeinerte Universelle Co- und Gradientenkriging nach Menz dient als theoretisches Gerüst der programmierten Algorithmen.
- Es wurde experimentell nachgewiesen, dass die theoretischen Herleitungen richtig waren.
- Die beim Gradientenkriging verwendeten Kovarianzfunktionen müssen stetig differenzierbar sein, deshalb sollte neben dem Gauß’schen Modell das in der Geostatistik sonst unübliche Hirvonen-Modell zur Anwendung kommen.
- Die Ableitungen der Kovarianzfunktion werden vor allem bei zonaler Anisotropie sehr komplex; aus diesem Grunde und wegen der entscheidenden Rechenzeitersparnis werden sie numerisch durchgeführt.
- Die numerischen Ableitungen verursachen in den untersuchten Grenzen bei der ingenieur-technischen Anwendung keine Genauigkeitseinbußen.
- Wenn die in der Praxis gewonnenen Vektoren entgegen dertheoretischen Forderung nicht in Richtung des maximalen Anstiegs der Tangentialebene liegen, wird das Koordinatensystem in Richtung dieser Vektoren gedreht.
- Messungenauigkeiten bei Stützpunkten und Gradienten sowie die Infravariabilität des Merkmals werden über drei verschiedene Faktoren getrennt berücksichtigt, so dass z. B. bei ungenauen Gradienten die Messwerttreue in den Stützpunkten erhalten bleibt.
- In der Software steht ein spezieller Suchalgorithmus, der sich der Datenkonfiguration an der jeweiligen Schätzstelle anpasst, bereit.
- Die Software enthält außerdem die Crossvalidation, wobei hier auch Gradienten sowie kreuzkorrelierte Stützpunkte einbezogen werden können.
- Bei der Modellanpassung nach Menz werden die Kurven der empirischen und theoretischen Vorhersagefehler angenähert; auf diese Weise ist es möglich, eine Modellfunktion für die Schätzung zu finden.
- Die schlechte Kondition der Krigematrix bei der Verwendung des Gauß’schen Modells entsteht durch die minimale Änderung der Funktion um den Koordinatenursprung, so dass sich die Gleichungen im Krigesystem nur unwesentlich unterscheiden.
- Mit der Einführung einer relativen Regularisierungskonstante für die Krigematrix von 5% bis 20% konnten beim Gradientenkriging stabile Ergebnisse erreicht werden.
- Sowohl beim Co-Kriging als auch beim Gradientenkriging ist das Prinzip der vollständigen Strukturerfassung zwischen den Messpunkten des interessierenden Merkmals zu berücksichtigen.
- Mit Gradienten lassen sich Strukturelemente, die der Beschreibung von topographischen Flächen dienen, vollständig erfassen.
- Mit der zusätzlichen Berücksichtigung der relativen Änderung des interessierenden Merkmals kann das Schätzergebnis, wie in zwei Fallbeispielen nachgewiesen, verbessert werden.
- Das Gradientenkriging stellt ein geeignetes Mittel dar, Daten verschiedenartigsten Ursprungs in einer Vorhersage einzubeziehen.