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Was ist grille?

Unter dieser Bezeichnung wird eine große Anzahl von C-Programmen zur Schätzung (Vorhersage) von Naturmerkmalen (z. B. geolog. Schichtgrenzen, Gehalte) zusammengefaßt. Diese Programmsammlung setzt das Konzept der geostatistischen Bibliothek GS-LIB fort. Die Betonung liegt auf dem Wort Konzept, ansonsten hat grille, außer einigen Krigingverfahren, nichts mit der GS-LIB zu tun. Wie dort werden die Programme über Parameterfiles gesteuert, die mit der graphischen Oberfläche SAFARI erzeugt werden können. In grille gibt es jedoch erweiterte Möglichkeiten der Programmsteuuerung, sowie als herausragender Zusatz die Berücksichtigung relativer Änderungen von Naturmerkmalen (Gradienten). Ausführliche Erläuterungen zu den programmierten Krigingverfahren findet man in meiner Dissertation, wobei jedoch darauf hingewiesen wird, daß die Software inzwischen eine enorme Erweiterung erfahren hat.

Mit den verschiedenen Programmen stehen dem Nutzer verschiedene Interpolationsmethoden zur Verfügung:

  1. traditionelles Kriging,
  2. BAYES'sches Kriging,
  3. Kollokation,
  4. Kernschätzer (z. B. Multiquadratik) sowie
  5. arithmetisches und gewichtetes Mittel (ist derzeit nicht verfügbar, todo).
Unter traditionellen Kriging wird hier die Lösung nach dem bekannten Krigingansatz mit seinen Erweiterungen verstanden. Dazu zählen das gewöhnliche Kriging, das Co-Kriging und das universelle Kriging. verzeichnet sind. Außerdem sind unter dem Oberbegriff einfaches (simple) Kriging alle Vorhersagen zusammengefaßt worden, bei denen der Wert des Trends als bekannt vorausgesetzt wird. Mit diesen Varianten kann auch eine Gradientenkriging ganz ohne Stützpunkte durchgeführt werden.

In [MENZ . PILZ 1994] wird gezeigt, daß die Ansätze des Krigings und der Kollokation identische Ergebnisse liefern. Aus der Ableitung der Kollokation ergeben sich jedoch die Angaben zum Signal- und Trendanteil im Gegensatz zum Kriging separat. Die Kollokation geht aber mit einem erhöhten Rechenaufwand einher.

Einen erweiterten Rahmen, in den sich die erwähnten Verfahren einordnen lassen, bietet der BAYES'sche Zugang. ,,Das Ziel besteht darin, a-priori-Kenntnisse objektiver Art (historische Daten, zusätzliche Daten, physikalische bzw. technologische Restriktionen) bzw. subjektiver Art (Expertenwissen, a-priori-Schätzungen etc.) zur Vorhersage heranzuziehen und mit den aktuell verfügbaren Daten Z zu kombinieren``[ PILZ 1992]. Die a-priori-Kenntnisse fließen über Trendparameter und deren Genauigkeit in die Schätzung ein. Derzeit sind die im Anschluß aufgezählten Varianten, die Trendparameter zu bestimmen, realisiert:

Eine weitere Verallgemeinerung läßt die Gruppe der Kernschätzer zu. Es bietet sich vor allem eine verallgemeinerte Methode der Modellschätzung an. Dies ist jedoch noch in der Forschungsphase und es existieren erst wenige Programme aus der möglichen Vielfalt. Es wird auf eine Veröffentlichung Nr. 11 im Druck verwiesen.

Jede der anfangs aufgezählten Methoden ist ähnlich aufgebaut, und bei jeder sind zahlreiche Spezifikationen möglich. In diesem Abschnitt wird deshalb versucht, eine kurze systematische Übersicht zu geben. Der entscheidende Unterschied zu anderer Software ist die Möglichkeit, bei den Methoden 1) bis 4) neben den Stützpunkten (absolute Meßwerte) auch Gradienten (relative Meßwerte) zu berücksichtigen. Außerdem können bei ihnen auch kreuzkorrelierte Stützpunkte und Gradienten von mehreren Merkmalen einbezogen werden. Da alle Programme ihren benötigten Hauptspeicher dynamisch allozieren, begrenzt nur die jeweilige zur Verfügung stehende Hardwarekonfiguration die Anzahl der einzubeziehenden Merkmale, den Umfang der Ausgangsdaten bzw. die Größe der zu lösenden Gleichungssysteme. Aus Definitionsgründen ist derzeit die Anzahl für Stützpunkt- und Gradientendateien auf jeweils fünfzig begrenzt worden. Ein weiteres Spezifikum wird dadurch gewährt, daß jedem Stützpunkt und jedem Gradient eine eigene Streuung zugeordnet werden kann. Damit sind Wichtungen, z. B. infolge unterschiedlicher Meßgenauigkeiten, während der Schätzung möglich. Oftmals gewinnt man Erkenntnisse aus der Ansicht der aufgebauten Matrizen, deshalb wurde eine Option vorgesehen, die diese Matrizen in den Algorithmen als farbiges Rasterbild visualisieren läßt. Es können isotrope und anisotrope Modelle verarbeitet werden, wobei auch beim Co- selbst diese nebeneinander spezifizierbar sind. Die Anisotropien werden wie bekannt über eine Ellipse bzw. ein Rotationsellipsoid berechnet. Sollte geometrische Anisotropie vorliegen, wird dieser Fall durch eine Koordinatentransformation auf den isotropen Fall zurückgeführt, um Rechenzeit zu sparen.

Die Schätzung kann für alle Methoden

durchgeführt werden.

Die anfangs aufgeführten Vorhersagemethoden können in unterschiedlichem Kontext aufgerufen werden. Dabei zeigt sich, daß es sich jeweils nur um den ein- oder mehrmaligen Aufruf der Vorhersage an einem bestimmten Ort handelt. Deshalb verzweigt sich jede Methode nach unterschiedlichen Vorhersageorten:

  1. regelmäßiges Gitter (Punkt, Gerade, 2D- und 3D-Netz),
  2. unregelmäßige Punktanordnung,
  3. Crossvalidation,
  4. Modellanpassung nach MENZ,
  5. Differentiation in unregelmäßiger Punktanordnung und
  6. Differentiation im Gitter.
Der Unterschied zwischen 2) und 3) liegt im Weglassen der Schätzstelle selbst bei der Crossvalidation sowie in der Ausgabe des Residuums in der Ergebnisdatei. Das gleiche gilt für die schon erwähnte Modellanpassung nach MENZ. Zu ihr sei noch hinzugefügt, daß die empirischen Fehler nicht nur durch die Krigingschätzung ermittelt werden müssen; sondern daß, wenn ein Kovarianzmodell spezifiziert worden ist, auch die multiquadratische Methode und der Mittelwert dazu verwendet werden können. Mit der Vorgabe eines Kovarianzmodells ergibt sich auch, daß sich durch die Benutzung einer allgemeineren Formel zur Varianzberechnung bei Bedarf auch für Mittelwert bzw. für die Kernschätzer eine Schätzvarianz angeben läßt. Bei der numerischen Differentiation eines Merkmals werden Hilfspunkte zur Berechnung der jeweiligen Differenzenquotienten durch eine der Interpolationsmethoden bestimmt. Der Abstand der Hilfspunkte ist frei wählbar. Es können die ersten und zweiten sowie die gemischt partiellen Ableitungen berechnet werden. Die Differentiation am Meßwert entspricht im Grunde der unregelmäßigen Punktanordnung und 6) ist das Äquivalent zu 1).

Bei allen Kombinationen aus Methoden und Vorhersageorten wird eine einheitliche Suchstrategie zur Auswahl der Punkte bzw. Gradienten an der jeweils aktuellen Schätzstelle angewendet, deren Merkmale man auf der Seite Suchstrategie nachlesen kann.

Literatur

MENZ . PILZ 1994
MENZ, JOACHIM . J. PILZ (1994). Kollokation, Universelles Kriging und BAYES'scher Zugang. Das Markscheidewesen, 101(2):62-66.

PILZ 1992
PILZ, JüRGEN (1992). Zur Verwendung von a-priori-Kenntnissen in geostatistischen Modellen. Beiträge zur Mathematischen Geologie und Geoinformatik, 3:2-11. Anwendung geostatistischer Verfahren.

Weiter
Andree Roettig
Mon Aug 24 1998